Kódování čísel

Všechna data v počítači jsou reprezentovaná posloupností 0 a 1, tzv. bitů. Proto se čísla v počítačích kódují pomocí binární (dvojkové) soutavy, která využívá pouze 0 a1.

Témata

• Binární čísla: základy – Základní princip binární soustavy není nijak specifický pro počítače. Procvičíte si zde převod mezi desítkovou a binární soustavou.
• Bity a bajty – Specifika reprezentace binárních čísel v počítači, například určení, kolik bitů paměti potřebujeme.
• Záporná a desetinná binární čísla – Téma představuje různé způsoby, jak rozšířit binární zápis na záporná a desetinná čísla.
• Počítání v binární soustavě – Sčítání, odčítání a násobení binárních čísel funguje podobně jako počítání v desítkové soustavě.
• Bitové operace – Propojení binárních čísel s tématem logiky skrze logické operace nad všemi bity současně.
• Hexadecimální čísla – V informatice se lze setkat i s šestnáckovou (hexadecimální) soustavou, která používá 16 symbolů (0–9, A–F).

V binární (dvojkové) soustavě zapisujeme čísla pouze pomocí dvou číslic: 0 a 1. Pozice každé číslice v zápisu odpovídá určité mocnině dvojky. Mocniny vždy začínají nultou mocninou u číslice nejvíc vpravo a zvyšují se směrem doleva. Hodnotu binárního čísla pak spočteme jako součet těchto mocnin. Každou mocninu započítáme, pokud je na příslušné pozici 1 nebo nezapočítáme, pokud je na daném místě 0.

Intuitivní pomůcka

Pro základní představu o binárních číslech můžeme použít pomůcku, kterou máme vždy po ruce – totiž ruku samotnou. Představme si, že si na prsty ruky napíšeme mocniny dvojky:

Pak můžeme na prstech jedné ruky počítat nejen do pěti, ale až do třiceti jedné. Každé číslo lze totiž vyjádřit (jednoznačně) jako součet mocnin dvojky. Pokud polohu prstů zaznačíme pomocí nul a jedniček, dostaneme zápis v binární soustavě.

Bit je nejmenší jednotka informace. Může mít pouze dvě různé hodnoty, 0 nebo 1. Bity se sdružují do bajtů (často psáno anglicky jako byte), jeden bajt se skládá z 8 bitů. Bit značíme malým b, bajt velkým B.

Bity v binárních číslech

Název „bit“ vznikl složením anglických slov binary digit (česky „dvojková číslice“). Při zápisu čísel ve dvojkové soustavě totiž každá číslice odpovídá jednomu bitu. Například číslo 1100_2 má 4 bity. Nejlevější bit se označuje jako nejvyšší či nejvýznamnější, protože má největší váhu (2^{N-1}, kde N je počet bitů). Naopak nejpravější bit se někdy označuje jako nejnižší či nejméně významný, protože má nejmenší váhu (2^0 = 1).

Kolik bitů potřebujeme?

Pomocí 1 bitu lze rozlišit jen 2 hodnoty (např. zapnuto/vypnuto). S každým dalším bitem se však počet možných hodnot zdvojnásobí. Takže pomocí 2 bitů rozlišíme 4 hodnoty (např. světové strany), pomocí 3 bitů až 8 hodnot (např. den v týdnu) a pomocí 4 bitů až 16 hodnot (např. měsíc v roce). Obecně platí, že, pomocí N bitů lze rozlišit 2^N různých hodnot. Například v 8 bitech (1 bajtu) lze uložit 2^8 = 256 různých hodnot.

V počítači často potřebujeme pracovat se zápornými nebo desetinnými čísly. Protože však počítače používají pouze nuly a jedničky, je potřeba tato čísla nějakým způsobem zapisovat bez použití mínusu nebo desetinné čárky.

Záporná čísla

Existuje více způsobů, jak zapisovat záporná čísla. Obvykle máme daný určitý počet bitů, se kterými můžeme pracovat, často jeden bajt.

V přímém kódu první bit zleva slouží pro uchování znaménka čísla. Obsahuje 0, pokud je číslo kladné, a 1, pokud je záporné. Na ostatních 7 bitů se zapíše absolutní hodnota čísla. Číslo 5_{10} se tedy v jednom bajtu zakóduje jako 0000 0101 a -5_{10} jako 1000 0101.

V inverzním kódu nejprve zapíšeme absolutní hodnotu čísla. Pokud je číslo kladné, dál neděláme nic. Pokud je záporné, obrátíme hodnotu všech bitů (vyměníme 0 za 1 a naopak). Číslo 5_{10} se tedy v jednom bajtu napíše jako 0000 0101 a -5_{10} jako 1111 1010.

Kódování v doplňkovém kódu (dvojkovém doplňku) začíná podobně jako v inverzním. Nejprve napíšeme absolutní hodnotu čísla a pokud je číslo kladné, dál nepokračujeme. Pro záporná čísla provedeme obrácení (inverzi) bitů a následně ještě přičteme jedničku. Číslo 5_{10} tedy v jednom bajtu zapíšeme jako 0000 0101 a -5_{10} jako 1111 1010 + 1 = 1111 1011. Pokud chceme získat hodnotu záporného čísla nebo obrátit znaménko zpět do plusu, provedeme ten samý sled operací. Nejprve obrátíme všechny bity a poté přičteme 1. Pro číslo -5_{10} by to vypadalo následovně: inverze bitů: 1111 1011 → 0000 0100, přičtení jedničky: 0000 0100 + 1 = 0000 0101. Získali jsme číslo 5_{10}.

Ve všech třech kódech poznáme záporné číslo podle toho, že má na prvním místě zleva 1. Kladná čísla na této pozici vždy obsahují 0.

Desetinná čísla

Desetinná čísla mohou být velmi dlouhá, občas mají dokonce nekonečný zápis. Počítače však mají omezený prostor v paměti, proto se i desetinná čísla ukládají na omezený počet bitů. Tento způsob reprezentace se nazývá zápis s plovoucí desetinnou čárkou a kvůli zmenšenému prostoru může být občas trochu nepřesný.

V zápisu s plovoucí desetinnou čárkou se číslo ukládá pomocí dvou hodnot: mantisy a exponentu. Ve speciálním bitu se navíc uchovává znaménko čísla, pro kladná se uloží 0 a pro záporná 1.

Mantisa představuje základ čísla – v podstatě jsou to číslice použité v zápisu. Desetinná čárka se v mantise nachází vždy na předem dohodnuté pozici, často například za první číslicí zleva. Čím větší prostor (počet bitů) máme na mantisu, tím přesněji můžeme číslo uložit.

Exponent je počet míst, o které se má desetinná čárka v mantise posunout, abychom dostali původní číslo. Kladný exponent znamená posun směrem doprava, čímž se číslo zvětšuje. Záporný exponent značí posun desetinné čárky doleva, tím se číslo víc přibližuje nule. Čím víc místa máme na exponent, tím větší rozsah hodnot můžeme ukládat.

Například číslo 1101{,}001_2 bude mít mantisu 1{,}101 001_2 a exponent 3_{10}. Ve znaménkovém bitu bude 0.

Na obrázku je příklad, jak může být jedno číslo uloženo v paměti počítače na 32 bitech (4 bajtech).

Pokud zvládáme základní princip binární soustavy, můžeme se pustit do aritmetických operací.

Sčítání binárních čísel

Binární čísla můžeme sčítat pod sebou velmi podobně, jako jsme zvyklí sčítat čísla v desítkové soustavě. Jediný rozdíl nastává, pokud sčítáme dvě jedničky. Protože 1_2 + 1_2 = 10_2, v takovém případě zapíšeme 0 a přenášíme 1 do vyššího řádu.

Odčítání binárních čísel

Odčítání binárních čísel funguje obdobně. K přenosu dochází pouze při počítání rozdílu 0_2 - 1. V takovém případě si „vypůjčíme“ jedničku z vyššího řádu – jako bychom počítali 10_2 - 1_2. Potom zapíšeme 1 a v dalším řádu navíc odečteme jedničku, kterou jsme si půjčili.

Násobení binárních čísel

Násobení binárních čísel je také téměř stejné jako u desítkových čísel. Násobíme tak, jako kdybychom měli dvě desítková čísla složená pouze z nul a jedniček. Sčítání řádků vzniklých násobením potom probíhá jako binární sčítání, které je popsáno výše.

Pokud máme binární číslo násobit mocninou dvojky, můžeme si práci velmi ulehčit. Stačí pouze přidat na konec čísla tolik nul, kolikátou mocninou dvojky násobíme. Například při násobení dvěma přidáváme 1 nulu (2 = 2^1), při násobení osmi přidáváme 3 nuly (8 = 2^3). Celočíselné dělení mocninou dvojky je také jednoduché, stačí odstranit tolik posledních číslic z dělence, kolikátou mocninou dvojky dělíme.

Bitové operace spojují logiku s binárním zápisem čísel. Provádějí logické úkony přímo nad jednotlivými bity binárních čísel, podle čehož také dostaly svůj název. Na rozdíl od běžné aritmetiky zde neexistuje žádný „přenos do vyššího řádu“ (carry). Každá pozice v čísle se zpracovává izolovaně. Bitové operace se vyznačují také tím, že nepracují jen s jedním bitem, ale s celou posloupností bitů najednou.

Logické operace

Logické operace jsou typickou ukázkou bitových operací. Mezi nejčastěji používané patří bitová negace (NOT), konjunkce neboli součin (AND), disjunkce neboli součet (OR) a neekvivalence (XOR). Více se logickým spojkám věnuje sekce logiky.

Posuny

Dalším častým druhem operací jsou posuny. Posun, neboli shift, se převádí přidáním nuly na začátek, případně na konec, sekvence bitů a odebráním jednoho bitu z druhé strany řetězce. Posun doprava (>>) tedy přidá nulu na začátek a odebere poslední bit, což pro binární čísla odpovídá celočíselnému dělení dvěma. Posun doleva (<<) naopak přidá nulu na konec řetězce a odebere první bit, což pro binární čísla odpovídá násobení dvěma.

Využití

Díky izolovanosti provádění operace na každém bitu zvlášť je v počítači často možné provádět více bitových operací paralelně. Následkem toho je práce s bitovými operacemi velmi rychlá, rychlejší než například sčítání nebo odčítání.

Bitové operace je možné používat na libovolné binární řetězce, nejen na čísla. Například do osmi bitů se dá místo osmibitového čísla uložit 8 indikátorů, takzvaných flagů, nesoucích binární informaci (s hodnotami true nebo false). S těmito flagy je pak možné manipulovat zároveň pomocí binárních operací.

Hexadecimální čísla jsou čísla zapsaná v šestnáctkové (hexadecimální) soustavě. Tato soustava využívá 16 symbolů (0–9 a A–F, kde A–F představují desítku až patnáctku).

Hexadecimální čísla jsou úzce propojena s binární soustavou. Každý symbol v šestnáctkové soustavě představuje čtyři bity v binární soustavě, což usnadňuje převody mezi těmito soustavami. Každé číslo v hexadecimální soustavě lze převést na binární tím, že každému hexadecimálnímu symbolu přiřadíme čtyři bity.

Hexadecimální čísla jsou často využívána v oblasti barevného zobrazení, například v RGB modelu. Každá složka barvy (červená, zelená, modrá) je vyjádřena osmi bity, což odpovídá dvěma hexadecimálním číslicím. Například barva červená s plnou intenzitou by byla zapsána jako #FF0000, kde FF reprezentuje maximální hodnotu červené složky.