Modelování, grafy, simulace

Jednou z typických úloh na grafech je hledání cest mezi vrcholy. Pokud chceme v mapě najít co nejkratší cestu z jednoho místa do jiného, můžeme mapu převést na graf, v němž budeme hledat nejkratší cestu po hranách. V takové situaci se často hodí k hranám (cestám mezi místy) doplnit údaje o jejich délce.

Z tohoto grafu bychom například zjistili, že nejkratší cesta z Rejšic do Jabkenic má 3 kilometry a vede přes Charvatce.

Cesty je možné kromě prostorové vzdálenosti porovnávat i podle jiných kritérií:

• Když internetový poskytovatel zajišťuje propojení svých sítí, může případná spojení porovnávat podle ceny za jejich pronájem.
• Navigace neporovnává cesty jen podle délky, ale i podle času dojezdu. Cesta po dálnici pravděpodobně bude o mnoho rychlejší, než stejně dlouhá cesta po okresní silnici.

Grafy jsou izomorfní, pokud mají stejný počet vrcholů a „stejná spojení“. Zde nebudeme rozebírat přesnou matematickou definici (tu najdete třeba zde), ale jen intuitivní představu. Představme si vrcholy grafu jako dřevěné kolíčky a hrany jako gumičky mezi nimi. S kolíčky a gumičkami můžeme hýbat a pořád je to „stejný graf“, protože vztah spojení zůstává zachován. Izomorfismus grafů se týká právě tohoto typu „stejnosti“. Můžeme s jedním grafem hýbat tak, až z něj dostaneme ten druhý?

Cvičení na izomorfní grafy nejsou užitečná ani tak kvůli pojmu samotnému, ale především jako trénink abstrakce. Při hledání izomorfních grafů musíme odhlédnout od detailů (jak přesně jsou hrany zakresleny) a soustředit se pouze na důležité vztahy (kdo je s kým spojen).

Model je zjednodušenou reprezentací skutečnosti. Model se zaměřuje jen na určité části skutečnosti a i ty zjednodušuje. Díky tomu nám ale dobrý model umožňuje o skutečnosti lépe přemýšlet. Takto obecně to vše může znít obecně a neuchopitelně. Ale s modely pracujeme neustále, i když o nich třeba nepřemýšlíme jako o modelech.

Typický příklad je mapa. Mapa je model prostoru. Turistická mapa například zachycuje polohu míst, vzdálenosti, nadmořské výšky. Zachycuje také tvar cest, ale jen zjednodušeně. A mnohé věci ze skutečnosti v mapě vůbec nejsou. Třeba aktuální počasí, barvu budov nebo polohu srn v lese z běžné mapy nevyčteme.

Další příklady modelů:

• glóbus jako model Země,
• modely počasí používané pro předpovídání počasí,
• malá autíčka či vláčky jako modely skutečných aut a vlaků,
• 3D model postavy v počítačovém programu,
• obrázek potravního řetězce jako model vztahů mezi živočichy v přírodě.

Model zachycuje pravidla a principy. Pokud model „rozhýbeme“, dostáváme simulaci. Například můžeme simulovat nehodu, ať už pomocí simulace modelu auta v počítači nebo pomocí fyzické nárazové zkoušky (crashtestu). Nebo simulujeme model počasí, abychom předpověděli budoucnost. Ne všechny modely simulujeme. Například u mapy nemá o simulaci příliš smysl mluvit.

Modely a simulace můžeme dělat s mnoha různými účely:

• předpovídání budoucího chování, např. pomocí simulace modelu předpovídáme počasí,
• zkoumání účinnosti opatření, např. pomocí modelu epidemie odhadujeme, jak efektivní může být zavedení karantény,
• porovnání různých možností, např. různých variant křižovatky,
• výuka, trénink dovedností, např. letecké simulátory,
• zkoumání světa, porovnávání hypotéz, např. modely buněk používané v biologii.

Pomocí simulací často zkoumáme otázky typu „Co kdyby?“. Co kdyby rychlostní limit na silnici byl nižší? Co kdyby byla karanténa přísnější? Co kdybychom počítačovou síť propojili jiným způsobem?

Zpětné vazby hrají důležitou roli v práci s modely, ale má smysl o nich mluvit i bez toho, abychom přímo modely vytvářeli. Zpětnovazební cyklus je série příčin a následků, které se vzájemně ovlivňují.

Existují dva základní typy zpětné vazby: negativní a pozitivní. Toto dělení nijak nesouvisí s tím, jestli se nám příslušné děje líbí nebo nelíbí (jde o technické pojmy, nikoliv emotivní hodnocení). Následující obrázek intuitivně ilustruje základní rozdíl mezi negativní a pozitivní zpětnou vazbou.

Negativní zpětná vazba znamená, že změna v jedné složce zpětnovazebního cyklu vede v konečném důsledku ke zmenšení této změny. Negativní zpětná vazba tedy udržuje systém v rovnovážném stavu. Typický příklad je řízení teploty v místnosti pomocí termostatu: pokud je chladno, termostat zapne topení, místnost se ohřeje, topení se vypne. Podobně funguje regulace teploty těla pocením.

Pozitivní zpětná vazba nastává, když změna jedné složce zpětnovazebního cyklu vede v konečném důsledku ke zvětšení této změny. Pozitivní zpětná vazba tedy vyvádí systém z rovnováhy. Příkladem pozitivní zpětné vazby je epidemie infekční nemoci: když přibude nemocných, zvýší se i počet zdravých, kteří s nimi přijdou do kontaktu, a tím se zvýší počet nemocných.

Ve světě kolem nás se vyskytuje mnoho zpětných vazeb, které spolu vzájemně interagují. Porozumět jejich chování není jednoduché. Modelování často využíváme k tomu, abychom zpětným vazbám lépe porozuměli.